Nhị thức Newton
Khai triển nhị thức bậc 4 và 5 được giải thích bằng sơ đồ cây, nhóm đơn thức đồng dạng và các hệ số tổ hợp.
Hiểu bài
Nhị thức Newton với số mũ thấp
Từ các hằng đẳng thức
$$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2,$$ $$(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3,$$
bài học dùng sơ đồ hình cây và tổ hợp để khai triển lũy thừa bậc 4, bậc 5. Mỗi nhánh chọn một hạng tử từ từng thừa số; các tích đồng dạng được nhóm lại. Chẳng hạn,
$$(a+b)^4=a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4.$$
Sơ đồ hình cây cho tích (a+b)(c+d), từ a và b tách sang c và d để tạo bốn tích a·c, a·d, b·c, b·d. SGK trang 73
Các hệ số $1,4,6,4,1$ là các số tổ hợp $C_4^0,C_4^1,\ldots,C_4^4$. Ví dụ,
$$(2x+1)^4=16x^4+32x^3+24x^2+8x+1.$$
Tương tự,
$$(a+b)^5=a^5+5a^4b+10a^3b^2+10a^2b^3+5ab^4+b^5.$$
Bài học vận dụng khai triển để tính hệ số, ước lượng $(1+0{,}02)^5$, mô hình tăng dân số $P=800\left(1+\frac r{100}\right)^5$ và mô tả tần số kiểu gene.