Nhị thức Newton
Tóm tắt
Hệ số khai triển nhị thức số mũ 4 hoặc 5 là các số tổ hợp; số mũ hai hạng tử bổ sung nhau.
Hiểu bài
Nhị thức Newton với số mũ thấp
Sơ đồ hình cây mô tả việc lấy một hạng tử từ mỗi nhân tử rồi nhân chúng. Chẳng hạn,
$$(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd.$$
Khi khai triển $(a+b)^4$, mỗi tích gồm bốn thừa số, mỗi thừa số là $a$ hoặc $b$. Số tích đồng dạng với $a^{4-k}b^k$ bằng $C_4^k$, nên
$$(a+b)^4=a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4.$$
Tương tự,
$$(a+b)^5=a^5+5a^4b+10a^3b^2+10a^2b^3+5ab^4+b^5.$$
Ví dụ nguồn:
$$(2x+1)^4=16x^4+32x^3+24x^2+8x+1.$$
Số mũ của $a$ giảm dần, số mũ của $b$ tăng dần và tổng hai số mũ trong mỗi hạng tử bằng số mũ của nhị thức.
Sơ đồ cây của tích hai nhị thức SGK trang 73