Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng. Góc và khoảng cách

Hiểu bài

Vị trí, góc và khoảng cách

Với hai đường thẳng

$$\Delta_1:a_1x+b_1y+c_1=0,\qquad \Delta_2:a_2x+b_2y+c_2=0,$$

toạ độ giao điểm là nghiệm của hệ hai phương trình tương ứng. Hai đường thẳng cắt nhau khi hệ có nghiệm duy nhất, song song khi hệ vô nghiệm và trùng nhau khi hệ có vô số nghiệm. Có thể nhận biết song song hoặc cắt nhau qua quan hệ cùng phương của các vectơ chỉ phương hay pháp tuyến.

Góc giữa hai đường thẳng là góc không tù do chúng tạo thành; góc giữa hai đường song song hoặc trùng nhau được quy ước bằng $0^\circ$. Nếu $\vec n_1=(a_1;b_1)$ và $\vec n_2=(a_2;b_2)$ là các pháp tuyến thì

$$\cos\varphi=\frac{|a_1a_2+b_1b_2|}{\sqrt{a_1^2+b_1^2}\sqrt{a_2^2+b_2^2}}.$$

Khoảng cách từ $M_0(x_0;y_0)$ đến $\Delta:ax+by+c=0$ được tính bằng

$$d(M_0,\Delta)=\frac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}.$$

Ảnh chụp màn hình GeoGebra có hệ trục tọa độ, đường thẳng d màu đỏ đi qua A(2, 4) và B(-4, 1), điểm C(3, -2) nằm phía dưới. SGK trang 42