Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm

Hiểu bài

Cho hàm số $y=f(x)$ xác định quanh $x_0$. Nếu giới hạn hữu hạn tồn tại thì đạo hàm tại $x_0$ là

$$f'(x_0)=\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=\lim_{h\to0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}h.$$

Các bước tính theo định nghĩa gồm: tính $f(x)-f(x_0)$; lập và rút gọn tỉ số sai phân; tìm giới hạn. Với $f(x)=x^2+2x$ tại $x_0=1$, tỉ số rút gọn thành $x+3$ nên $f'(1)=4$.

Nếu hàm có đạo hàm tại mọi điểm của một khoảng thì có đạo hàm trên khoảng đó. Trong chuyển động $s=f(t)$, $v(t)=f'(t)$ là vận tốc tức thời. Tổng quát hơn, đạo hàm biểu thị tốc độ thay đổi tức thời của đại lượng phụ thuộc.