Cấp số nhân

Hiểu bài

Cấp số nhân là dãy số mà từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng bằng số hạng đứng trước nhân với một số không đổi $q$, gọi là công bội:

$$u_n=u_{n-1}q\quad(n\ge2).$$

Với các số hạng khác 0, có thể chứng minh một dãy là cấp số nhân bằng cách chứng minh tỉ số $u_n/u_{n-1}$ không đổi. Ví dụ,

$$u_n=\frac1{3^{n-1}}\quad\Rightarrow\quad \frac{u_n}{u_{n-1}}=\frac13,$$

nên $u_1=1$, $q=1/3$. Công thức số hạng tổng quát là

$$u_n=u_1q^{n-1}.$$

Nếu $q\ne1$, tổng $n$ số hạng đầu là

$$S_n=\frac{u_1(1-q^n)}{1-q}.$$

Bài học áp dụng các công thức này cho tăng trưởng vi khuẩn, tiền lương tăng theo tỉ lệ phần trăm, khấu hao và lượng thuốc giảm theo tỉ lệ cố định.