Xác suất có điều kiện

Hiểu bài

Trong thực tế, xác suất thường được cập nhật khi có thêm thông tin: xác suất ngày mai mưa khi biết hôm nay không mưa, hoặc xác suất một người thọ đến $80$ tuổi khi người đó đã sống đến $60$ tuổi. Cho hai biến cố $A,B$ với $P(B)>0$, xác suất của $A$ khi biết $B$ đã xảy ra là

$$P(A\mid B)=\frac{P(AB)}{P(B)}.$$

Trong ví dụ lấy bi, sách thu được $P(A\mid B)=\frac{20\cdot19}{20\cdot29}=\frac{19}{29}$. Nếu $A$ và $B$ độc lập, $P(AB)=P(A)P(B)$; do đó $P(A\mid B)=P(A)$ và tương tự $P(B\mid A)=P(B)$ khi các mẫu số dương. Điều này diễn đạt rằng thông tin một biến cố độc lập đã xảy ra không làm thay đổi xác suất của biến cố kia.

Bài còn giới thiệu ý tưởng cập nhật Bayesian: từ các xác suất ban đầu của những kịch bản $E_1,\ldots,E_n$, khi có thông tin mới $H$ thì xét $P(E_i\mid H)$; nếu có thêm $G$, tiếp tục cập nhật theo các thông tin đã biết.