Ứng dụng hình học của tích phân

Hiểu bài

Tích phân được dùng để tính diện tích hình phẳng và thể tích vật thể. Nếu $f$ liên tục trên $[a;b]$, diện tích hình phẳng giới hạn bởi $y=f(x)$, trục hoành và hai đường thẳng $x=a$, $x=b$ là

$$S=\int_a^b |f(x)|,dx.$$

Ví dụ, với $y=x^3$ trên $[0;2]$, vì $x^3\ge0$ nên

$$S=\int_0^2x^3,dx=\left.\frac{x^4}{4}\right|_0^2=4.$$

Nếu hình phẳng được giới hạn bởi hai đồ thị liên tục $y=f(x)$ và $y=g(x)$ cùng hai đường $x=a$, $x=b$, thì

$$S=\int_a^b|f(x)-g(x)|,dx.$$

Khi hiệu $f-g$ không đổi dấu, có thể bỏ dấu giá trị tuyệt đối sau khi xác định đồ thị nào nằm trên. Phần thể tích xét các khối tròn xoay, chẳng hạn hình tạo bởi $y=2x-x^2$, $y=0$, $x=0$, $x=2$ khi quay quanh trục $Ox$, hoặc chỏm cầu sinh bởi $y=\sqrt{R^2-x^2}$.