Công thức tính góc trong không gian

Hiểu bài

Bài học xét ba loại góc: góc giữa hai đường thẳng, góc giữa đường thẳng và mặt phẳng, và góc giữa hai mặt phẳng. Nếu hai đường thẳng có vectơ chỉ phương $\vec u=(a;b;c)$, $\vec u'=(a';b';c')$ thì

$$\cos(\Delta,\Delta')=\frac{|aa'+bb'+cc'|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}\sqrt{a'^2+b'^2+c'^2}}.$$

Ví dụ, với $\vec u=(1;1;0)$ và $\vec u'=(2;2;1)$, sách tính $\cos(\Delta,\Delta')=\frac{2\sqrt2}{3}$, do đó góc xấp xỉ $19,5^\circ$. Bài quy ước làm tròn góc đến một chữ số thập phân nếu không nói khác.

Với hai mặt phẳng có các vectơ pháp tuyến $\vec n=(A;B;C)$ và $\vec n'=(A';B';C')$, góc giữa hai mặt phẳng được liên hệ với góc giữa hai vectơ pháp tuyến. Một ví dụ cho $\cos\varphi=\frac9{41}$, suy ra $\varphi\approx77,3^\circ$. Các bài tập yêu cầu tính góc giữa hai đường, giữa trục $Oz$ và một mặt phẳng, giữa đường thẳng và mặt phẳng, cũng như góc trong mô hình kim tự tháp.