Phương trình mặt cầu

Hiểu bài

Mặt cầu tâm $I(a;b;c)$, bán kính $R>0$ là tập các điểm cách $I$ một khoảng bằng $R$ và có phương trình

$$(x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2=R^2.$$

Điểm $M(x;y;z)$ nằm trong mặt cầu nếu tổng bình phương ở vế trái nhỏ hơn $R^2$, và nằm ngoài nếu tổng đó lớn hơn $R^2$. Chẳng hạn, mặt cầu $(x-1)^2+(y+3)^2+z^2=5$ có tâm $I(1;-3;0)$ và bán kính $\sqrt5$; tại $O(0;0;0)$, vế trái bằng $10>5$, nên $O$ nằm ngoài mặt cầu.

Phương trình $x^2+y^2+z^2-2x+4y-6z-2=0$ được hoàn thành bình phương thành

$$(x-1)^2+(y+2)^2+(z-3)^2=4^2,$$

vì vậy biểu diễn mặt cầu tâm $I(1;-2;3)$, bán kính $4$. Bài học còn lập mặt cầu từ tâm và bán kính hoặc từ đường kính. Phần ứng dụng mô hình hóa vị trí GPS bằng các khoảng cách đến vệ tinh, tạo ra các phương trình mặt cầu và hệ phương trình tọa độ.