Biểu thức toạ độ của các phép toán vectơ

Hiểu bài

Nếu $\vec a=(x;y;z)$ và $\vec b=(x';y';z')$, các phép cộng, trừ và nhân với số được thực hiện theo từng toạ độ. Hai vectơ $\vec a$ và $\vec b\ne\vec0$ cùng phương khi và chỉ khi tồn tại số thực $k$ sao cho

$$x=kx',\qquad y=ky',\qquad z=kz'.$$

Với $\vec a=(2;1;5)$ và $\vec b=(2;2;1)$,

$$\vec a-\vec b=(0;-1;4),$$

$$3\vec a+2\vec b=(6;3;15)+(4;4;2)=(10;7;17).$$

Trong hệ $Oxyz$, tích vô hướng của $\vec a=(x;y;z)$ và $\vec b=(x';y';z')$ được tính theo các tích của toạ độ tương ứng. Từ các biểu thức toạ độ có thể tìm trung điểm, trọng tâm, độ dài, khoảng cách và góc. Bài tập yêu cầu tính các tổ hợp vectơ, tích vô hướng, kiểm tra thẳng hàng và dựng hình bình hành từ toạ độ các điểm.